Question

已知函数

（1）判断函数的单调性；

（2）若函数有极大值点，求证：.

Answer

（1）见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）对求导，得到，然后判断的根的情况，得到的正负，然后得到的单调性；（2）由（1）可得，且，由得，所以只需证，令，，利用导数研究出的单调性和最值，结合，得到时，，从而得以证明.

（1）由题意，知，对于方程，，

①当时，，，在上单调递增.

②当时，令，则，，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）可知当时，在处时，函数取得极大值，

所以函数的极大值点为，则．

由得，

要证，

只需证，

只需证，

即，

令，，

则，

令，，

则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

，

所以，在上单调递减，又，

故时，，

又，则，

从而可证明.