Question

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，.且底面.

（1）证明：平面平面 ；

（2）若为的中点，且，求二面角的大小

Answer

(1)见证明；(2)

【解析】

（1）先根据计算得线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面的法向量，利用向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.

（1）证明：∵，∴，

∵，∴.

又∵底面，∴.

∵，∴平面.

而平面，∴平面平面.

（2）【解析】
由（1）知，平面，

分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

因为，，令，

则，，，，，

∴，.

，∴.

故，.

设平面的法向量为，

则即

令，得.

易知平面的一个法向量为，则，

∴二面角的大小为.