Question

已知抛物线E：的焦点为F，圆C：，点为抛物线上一动点当时，的面积为．

求抛物线E的方程；

若，过点P作圆C的两条切线分别交y轴于M，N两点，求面积的最小值，并求出此时点P的坐标．

Answer

（Ⅰ） （II）的最小值为2，

【解析】

（Ⅰ）根据题意可得x02+（y0）2，|1|•|x0|，x02＝2py0，即可解得p＝1；

（II）设P（x0，y0），M（0，b），N（0，c），且b＞c，则直线PM的方程可得，由题设知，圆心（0，1）到直线PM的距离为1，把x0，y0代入化简整理可得（2y0﹣1）b2﹣2y0b﹣y02＝0，同理可得（2y0﹣1）c2﹣2y0c﹣y02＝0，进而可知b，c为（2y0﹣1）x2﹣2y0x﹣y02＝0的两根，根据求根公式，可求得b﹣c，进而可得△PMN的面积的表达式，根据均值不等式可得

（Ⅰ）由题意知：

，

，

,

，

抛物线方程为.

(Ⅱ)设过点P且与圆C相切的直线的方程为

令x=0，得

切线与x轴的交点为

而，

整理得

，

设两切线斜率为，

则

，

，

，

，

则，

令，则

，

而

当且仅当，即t=1时，“=”成立.

此时，

的最小值为2，