Question

已知函数．

（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

（2）设函数在区间上有两个极值点．

（i）求实数的取值范围；

（ⅱ）求证：．

Answer

（1）；（2）（i），（ⅱ）证明见解析.

【解析】

（1）由题，得对任意上恒成立，即对任意上恒成立，分，，三种情况考虑，即可得到本题答案；

（2）（i）函数在区间上有两个极值点，等价于的方程在上有两个不相等的实数根，通过考虑在的取值范围，即可得到本题答案；

（ⅱ）由题，可证得，又由（i）得，综上，即可得到本题答案.

（1）据题意，得对任意上恒成立，

∴对任意上恒成立.

令，则.

①当时，，在上为单调递增函数.

又∵，

∴当时，，不合题意；

②当时，若，则，在上为单调递增函数.

又∵，

∴当时，，不合题意；

③当时，若，则，在上为单调递减函数.

又，

∴当时，，符合题意.

综上，所求实数的取值范围是．

（2）令，，∴.

令．

分析知，关于的方程在上有两个不相等的实数根．

（i）引入，则.

分析知，函数在上单调递增，在上单调递减，

且，

∴，

即所求实数的取值范围是.

（ⅱ）∵，，

∴．

不妨设，则，

∴

．

令，则，

∴当时，，

∴在上为单调递增函数．

∴，即．

∴．

∴，

∴，

∴．

又由（i），得，∴

∴．