Question

如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，，//，.

（1）证明：//平面BCE.

（2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF，然后根据勾股定理计算可得BF＝DE，最后利用线面平行的判定定理，可得结果.

（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一个法向量为，平面CDF的法向量为，然后利用向量的夹角公式以及平方关系，可得结果.

（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DEAD，

因为AD＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，

又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，

所以DE//BF，又BF＝DE，

所以平行四边形BEDF，故DF//BE，

因为BE平面BCE，DF平面BCE

所以DF//平面BCE；

（2）建立如图空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（4，0，0），

C（0，4，0），F（4，3，﹣3），

，

设平面CDF的法向量为，

由，令x＝3，得，

易知平面ABF的一个法向量为，

所以，

故.