Question

设l为曲线C：在点处的切线.

（1）求l的方程；

（2）证明：除切点之外，曲线C在直线l的下方；

（3）求证：（其中，）.

Answer

（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）求出切点处切线斜率，代入点斜式方程，可以求解；

（2）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论；

（3）法一，充分利用（2）的结果，对不等式左端进行放大，进一步放大为可以列项相消的形式来证明，法二，利用数学归纳法证明即可.

（1）设（），则（），

从而曲线在点处的切线斜率为，

于是切线方程为，即，

因此直线l的方程为.

（2）令（），

则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于（任意，）恒成立.

满足，且（，），

当时，，，从而，于是在单调递减；

当时，，，从而，于是在单调递增.

因此（任意，），除切点之外，曲线C在直线l的下方.

（3）方法1 由（2）可知（任意，）.

令得，即.

则，，…，.

将以上各式相加得，

当，时，，

，

，

所以当，时，，结论成立.

方法2：用数学归纳法证明：

①当时，左边，右边，左边右边，不等式成立.

②假设当（，）时，不等式成立，

即，

当时，，

只需证明（*）

（**）.

由（2）可知（任意，），

则（）.

又当，时，，

，

（）.

所以（**）成立，从而（*）成立.

时，不等式成立.

由①②可知，当，时，成立.