Question

设l为曲线C：在点处的切线.

（1）求l的方程；

（2）证明：除切点之外，曲线C在直线l的下方；

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

设（），求函数的导数,由导数的几何意义知 ,即为曲线C：在点处的切线的斜率，代入点斜式即可求解；

构造函数（），则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于（，）,求函数的导数,利用的符号判断函数的单调性,求出时,函数的最值即可.

设（），则（），

从而曲线在点处的切线斜率为，

于是切线方程为，即，

因此直线l的方程为.

证明：令（），则

则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于（，）.

满足，且（，）

当时，，，从而，于是在单调递减；

当时，，，从而，于是在单调递增.

因此函数有极小值即最小值.

所以函数对任意且恒成立,

即除切点之外，曲线C在直线l的下方.