Question

已知函数（且）.

（1）若的定义域为，判断的单调性，并加以说明；

（2）当时，是否存在，，使得在区间上的值域为，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）当时，为减函数，当时，为增函数.证明见解析；（2）存在，

【解析】

（1）求出函数定义域，利用定义法证明函数单调性，再分类讨论得函数单调性；

（2）根据定义域和值域，结合（1）所得单调性，将问题转化为方程有两个大于3的不同的实数根，利用根的分布求解.

（1）或.由于的定义域为，则.

设，有，

故当时，为减函数，当时，为增函数.

（2）若在上的值域为，

由（1）知当时，为减函数.

则，

即，又，

即，为方程的大于3的两个不同的实数根.

从而得.

故当时，存在满足题意条件的，.