Question

设函数.

（1）当时，求函数的最大值；

（2）令其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；

（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）对函数进行求导，判断其在单调递增，在单调递减，从而得到最大值为；

（2）求出函数，，则其导数小于等于在恒成立，进而求出的取值范围；

（3）方程有唯一实数解，设，利用导数研究函数的图象特征，设为方程的唯一解，得到，把方程组转化成，再利用导数研究该方程的根，最后根据根的唯一性，得到与的关系，再求出正数的值.

（1）依题意，知的定义域为，

当时，，

令，解得.

当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减.

所以的极大值为，此即为最大值.

（2），，则有，在上恒成立，所以，.

当时，取得最大值，所以.

（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，

设，则.

令，，

因为，，所以（舍去），，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

当时，，取最小值.

则，即，

所以，

因为，所以

设函数，

因为当时，是增函数，所以至多有一解，

又，所以方程的解为，即，解得.