Question

直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为（  ）

A. B. C. D.

Answer

C

【解析】

设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出的取值范围.

设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：；

设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：，则两曲线的公切线应该满足：，

构造函数,

当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数有最大值为：，当时，，当，，函数的图象大致如下图所示：

要想有若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为.

故选：C