Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围．

Answer

（1）答案见解析；（2）

【解析】

（1）求出导函数，然后根据的符号进行分类讨论，并借助解不等式组的方法得到单调区间；（2）根据（1）中的结论求出当时，函数在上的最小值，因此问题转化为有解，即有解，构造函数，求出函数的最小值即可得到所求．

（1）由，

得，

①当时，

令，得，

所以，或，即或，

解得或．

令，得，

所以或，即或，

解得或．

所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．

②当时，

令，得，由①可知；

令，得，由①可知或．

所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．

综上可得，

当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为．

当时，的单调递增区间为；单调递减区间为，．

（2）由（1）可知若，则当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以不等式有解等价于有解，

即有解，

设，则，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以的极小值也是最小值，且最小值为，

从而，

所以实数的取值范围为．