Question

对于函数y＝f（x），若在其定义域内存在x₀，使得x₀f（x₀）＝1成立，则称函数f（x）具有性质M．

（1）下列函数中具有性质M的有____

①f（x）＝﹣x+2

②f（x）＝sinx（x∈[0，2π]）

③f（x）＝x，（x∈（0，+∞））

④f（x）

（2）若函数f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性质M，则实数a的取值范围是____．

Answer

①②④ a或a＞0

【解析】

（1）①因为f（x）＝﹣x+2，若存在，则，解一元二次方程即可.②若存在，则，即，再利用零点存在定理判断.③若存在，则，直接解方程.④若存在，则，即，令，再利用零点存在定理判断.

（2）若函数f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性质M，则ax（|x﹣2|﹣1）=1，x∈[﹣1，+∞）有解，将问题转化 ：当 时， 有解，当 时， 有解，分别用二次函数的性质求解.

（1）①因为f（x）＝﹣x+2，若存在，则，

即，所以 ，存在.

②因为f（x）＝sinx（x∈[0，2π]），若存在，则，

即，

令，

因为，

所以存在 .

③因为f（x）＝x，（x∈（0，+∞）），若存在，则，

即，所以不存在.

④因为f（x），（x∈（0，+∞）），若存在，则，

即，

令，

因为，

所以存在.

（2）若函数f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性质M，

则ax（|x﹣2|﹣1）=1，x∈[﹣1，+∞）有解，

当 时， 有解，

令 ，

所以 .

当 时， 有解，

令 ，

所以 .

综上：实数a的取值范围是a或a＞0.

故答案为：(1). ①②④ (2). a或a＞0