Question

已知向量（2sinx，cosx），（cosx，2cosx）．

（1）若x≠kπ，k∈Z，且，求2sin²x﹣cos²x的值；

（2）定义函数f（x），求函数f（x）的单调递减区间；并求当x∈[0，]时，函数f（x）的值域．

Answer

（1）；（2）单调递减区间为[k]，k∈Z，值域[1，4]

【解析】

（1）由，得，从而求得tanx，再用商数关系，转化2sin2x﹣cos2x求解.

（2）化简函数f（x）=2sin（2x）+2，利用整体思想，令2x可求得减区间.由x，得到2x，从而有sin（2x）求解.

（1）因为，

所以，

因为x，所以cosx≠0，

所以tanx，

所以2sin2x﹣cos2x.

（2）f（x）＝2sinxcosx+2cos2x+1cos2x+2＝2sin（2x）+2，

令2x，

解得，，

故函数的单调递减区间为[k]，k∈Z.

因为x，

所以2x，

所以sin（2x），

所以函数f（x）的值域[1，4]．