Question

已知奇函数f（x），函数g（θ）＝cos²θ+2sinθ，θ∈[m，]．m，b∈R．

（1）求b的值；

（2）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并证明；

（3）当x∈[0，1]时，函数g（θ）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围．

Answer

（1）b＝0；（2）在[0，1]上的单调递增，证明见解析；（3）

【解析】

（1）根据函数f（x）为奇函数，令f（0）＝0求解.

（2）函数f（x）在[0，1]上的单调递增，再利用函数的单调性定义证明.

（3）根据（2）知，函数f（x）在[0，1]上的单调递增，得到．即g（θ）的最小值为，再令t＝sinθ，转化为二次函数求解.

（1）因为函数f（x）为R上的奇函数，

所以f（0）＝0，解得b＝0．

（2）函数f（x）在[0，1]上的单调递增．

证明：设

则：f（x2）﹣f（x1），

因为，

所以x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，

所以，

即f（x2） f（x1），

所以函数f（x）在[0，1]上的单调递增．

（3）由（2）得：函数f（x）在[0，1]上的单调递增，

所以．所以g（θ）的最小值为．

令t＝sinθ，所以y的最小值为，

令

解得

所以，

即，

所以

又因为θ∈[m，]．m，b∈R，

所以．