Question

已知函数y＝f₁（x），y＝f₂（x），定义函数f（x）．

（1）设函数f₁（x）＝x+3，f₂（x）＝x²﹣x，求函数y＝f（x）的解析式；

（2）在（1）的条件下，g（x）＝mx+2（m∈R），函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，求实数m的取值范围；

（3）设函数f₁（x）＝x²﹣2，f₂（x）＝|x﹣a|，函数F（x）＝f₁（x）+f₂（x），求函数F（x）的最小值．

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据函数f（x）的定义，两个函数中取小的.

（2）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，即方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数根，因为函数 是分段函数，分类讨论，分别用一次方程和二次方程求解.

（3）根据题意F（x）．按照二次函数函数定区间动的类型，讨论对称轴与区间端点值间的关系求最值.

（1）∵f1（x）＝x+3，，

当f1（x）≤f2（x），即x≥3或x≤﹣1时，f（x）＝x+3，

当f1（x）＞f2（x），即﹣1＜x＜3时，，

综上：．

（2）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，

即方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数根，

因为函数，函数g（x）＝mx+2（m∈R），

所以当x≤﹣1或x≥3时，mx+2＝x+3恰有一个实数解，

所以或，

解得，．

当﹣1＜x＜3时，mx+2＝x2﹣x恰有两个不同的实数解，

即当﹣1＜x＜3时x2﹣（m+1）x﹣2=0恰有两个不同的实数解，

设函数h（x）＝x2﹣（m+1）x﹣2，

由题意可得，

所以，

解得，

综上，m的取值范围为．

（3）F（x）＝f1（x）+f2（x）＝x2+|x﹣a|﹣2．

①若a，则函数F（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数，

此时，函数F（x）的最小值为；

②若，则函数F（x）在（﹣∞，a）上是单调减函数，在（a，+∞）上是单调增函数，

此时，函数F（x）的最小值为F（a）＝a2﹣2；

③若，则函数F（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数，

此时，函数F（x）的最小值为；

综上：．