Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆的离心率为,过椭圆的左焦点,且斜率为的直线,与以右焦点为圆心,半径为的圆相切.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）线段是椭圆过右焦点的弦,且,求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.

Answer

（1）（2）最大值,.

【解析】

（1）设,,可得:直线的方程为:,即,直线与圆相切,圆心到直线的距离为,解得,结合已知,即可求得答案.

（2）将直线的方程与椭圆方程联立,求得,结合导数知识,即可求得答案.

（1）设,,

直线斜率为,且过椭圆的左焦点.

直线的方程为:,即.

直线与圆相切,

圆心到直线的距离为,

解得.

椭圆的离心率为,即,

解得:,

根据:

椭圆的方程为.

（2）由（1）得,,

直线的斜率不为,

设直线的方程为:,

将直线的方程与椭圆方程联立可得:消掉

可得:,

恒成立,

设,,

则,是上述方程的两个不等根,

根据韦达定理可得:

,.

的面积:

设,则,,

可得:.

令

恒成立,

函数在上为减函数,故的最大值为:,

的面积的最大值为,

当且仅当,即时取最大值,

此时直线的方程为,即直线垂直于轴,

此时,即.

综上所述,的面积的最大值,时的面积的最大.