Question

如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，EB//PA,AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点.

（1）求证AFPC 

（2）BD//平面PEC

（3）求二面角D-PC-E的大小

Answer

（1）见解析； （2）见解析； （3）150°.

【解析】

（1）依题意，PA⊥平面ABCD．以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥PC．

（2）取PC的中点M，连接EM．推导出BD∥EM，由此能证明BD∥平面PEC．

（3）由AF⊥PD，AF⊥PC，得AF⊥平面PCD，求出平面PCD的一个法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣PC﹣E的大小．

（1）依题意，平面ABCD，如图，以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．

依题意，可得

A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4,0,0），

P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2）

∵，，

∴，∴..

（2）取PC的中点M，连接EM.

∵，，

∴，∴.

∵平面PEC，平面PEC，

∴BD//平面PEC.

（3）因为AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC＝P，

所以AF⊥平面PCD，故为平面PCD的一个法向量．

设平面PCE的法向量为，

因为，，

所以即

令y＝﹣1，得x＝﹣1，z＝﹣2，故．

所以，

所以二面角D﹣PC﹣E的大小为．