Question

已知函数.

（1）当时，求的单调区间与极值；

（2）当时，若函数在R上有唯一零点，求t的值.

Answer

（1）单调递增区间，单调递减区间；极大值，无极小值；（2）1

【解析】

(1)依题意可知,则,利用导数求单调性和极值的常规方法即可求出结果.

(2)当时，,利用导数的方法可得的单调区间, 的极小值是，只要，即时,能满足题意;构造函数在上单调递增,从而确定时有唯一的零点.

（1）当时，.

则，

令，得，

∴的单调递增区间是，单调递减区间是，

∴的极大值是，无极小值

（2）当时，，

则，令，得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴的极小值是，∴只要，即可满足函数在R上有唯一零点

∴，

令，则.

∴在上单调递增，

∵，∴的值是1.