Question

如图，在三棱柱中，侧面是正方形，分别是，的中点，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面；

（3）若三棱柱的体积为10，求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）先由线面垂直的判定定理，证明平面，进而可证明面面垂直；

（2）设中点为，连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；

（3）连接，根据等体积法，得到，进而可求出结果.

（1）∵平面，平面，∴，

在正方形中，，

∵，∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

（2）设中点为，连接，

∵分别是的中点，

∴，且.

又点是的中点，∴.

∵，且，

∴，且，

∴四边形是平行四边形，∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（3）连接，则，

∵为的中点，

∴三棱锥的体积.