Question

一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形(如图所示)，其中.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元

（1）求发酵池边长的范围；

（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道（为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.

Answer

（1）（2）当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.

【解析】

（1）设米，总费用为，解即可得解；

（2）结合（1）可得占地面积结合导函数分类讨论即可求得最值.

（1）由题意知:矩形面积米，

设米，则米，由题意知:，得，

设总费用为，

则，

解得:，又，故，

所以发酵池边长的范围是不小于15米，且不超过25米；

（2）设发酵馆的占地面积为由（1）知:，

①时，，在上递增，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；

②时，，在上递减，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；

③时，时，，递减；时，递增，

因此，即时，发酵馆的占地面积最小；

综上所述：当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.