已知
，矩阵
，若矩阵
属于特征值5的一个特征向量为
，点
在对应的变换作用下得到点
，求矩阵.
设函数
，
，
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）若函数
有两个零点
，
(
).
（i）求
的取值范围；
（ii）求证:
随着
的增大而增大.
已知
，
均为正项数列，其前
项和分别为
，
，且
，
，
，当
，
时，
，
.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设
，求数列
的前项和
.
一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形
的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形
(如图所示)，其中
.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米
，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
（1）求发酵池
边长的范围；
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和
米的走道（为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.
已知椭圆
的左右焦点分别为
，焦距为4，且椭圆过点
，过点
且不平行于坐标轴的直线
交椭圆与
两点，点
关于
轴的对称点为
，直线
交轴于点
.
（1）求
的周长；
（2）求
面积的最大值.
在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
为其中心，
为锐角三角形，且平面
底面，
为
的中点，
.
（1）求证:
平面
；
（2）求证:
.
