Question

如图，已知点F为抛物线的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为时，.

（1）求抛物线C的方程.

（2）点，证明：直线PM，PN关于x轴对称.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

(1)易得直线的方程,再联立与抛物线的方程,利用焦点弦长公式求解即可.

(2)联立直线与双曲线的方程,得出韦达定理,再分别利用的坐标表达直线的斜率,进而代入韦达定理证明斜率互为相反数即可.

（1）当l的斜率为1时，，.

由，得.

设，，则，，

，，

抛物线C的方程为.

（2）法一：①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为，

由，得，

，

，.

，.

，，PN关于x轴对称.

②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，

易知PM，PN关于x轴对称，

综上，直线PM，PN关于x轴对称.

法二：显然，直线l的斜率不为0，设.

由，得，

则，.

，，

，

.

，

直线PM，PN关于x轴对称