Question

已知函数．

（1）求函数的极值点；

（2）若函数有极大值点，证明：．

Answer

（1）极大值点为；极小值点为（2）证明见解析

【解析】

（1）求，求出的解，进而求出单调区间，即可求出极值点；

（2）根据（1）中极大值关系，求出的范围，将用表示，要证的不等式转化为证明关于的不等式，构造函数，用导数法求函数的最值，即可证明不等式.

（1），

对于，，

令，则，，

在上，函数单调递增；

在上，函数单调递减；

在上，函数单调递增，

所以函数的极大值点为，极小值点为．

（2）由（1）知函数的极大值点为，

则，

由得，

要证，只需证，

只需证，即证，

令，则，

令，则，

当时，，单调递增；

，即，

当时，单调递减，

又，则，

即.