Question

已知a∈R，函数f(x)＝(－x²＋ax)e^x(x∈R)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围．

Answer

（1）见解析（2）[，+∞）

【解析】

（1）求出a=2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；

（2）求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a的范围．

（1）a=2时，f（x）=（﹣x2+2x）•ex的导数为

f′（x）=ex（2﹣x2），

由f′（x）＞0，解得﹣＜x＜，

由f′（x）＜0，解得x＜﹣或x＞．

即有函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），

单调增区间为（﹣，）．

（2）函数f（x）=（﹣x2+ax）•ex的导数为

f′（x）=ex[a﹣x2+（a﹣2）x]，

由函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，

则有f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，

即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，

则有1+（a﹣2）﹣a≤0且1﹣（a﹣2）﹣a≤0，

解得a≥．

则有a的取值范围为[，+∞）．