Question

已知函数.

（1）若，求函数的所有零点；

（2）若，证明函数不存在的极值.

Answer

(1) (2)见证明

【解析】

（1）首先将代入函数解析式，求出函数的定义域，之后对函数求导，再对导函数求导，得到（当且仅当时取等号），从而得到函数在单调递增，至多有一个零点，因为，是函数唯一的零点，从而求得结果；

（2）根据函数不存在极值的条件为函数在定义域上是单调函数，结合题中所给的参数的取值范围，得到在上单调递增，从而证得结果.

（1）【解析】
当 时，，

函数的定义域为，

且．

设，

则 ．

当时，；当时，，

即函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，（当且仅当时取等号）．

即当时，（当且仅当时取等号）．

所以函数在单调递增，至多有一个零点.

因为，是函数唯一的零点.

所以若，则函数的所有零点只有．

（2）证法1：因为，

函数的定义域为，且．

当时，，

由（1）知．

即当时，

所以在上单调递增．

所以不存在极值．

证法2：因为，

函数的定义域为 ，且．

设，

则 ．

设 ，则与同号．

当 时，由，

解得，．

可知当时，，即，当时，，即，

所以在上单调递减，在上单调递增．

由（1）知．

则．

所以，即在定义域上单调递增．

所以不存在极值．