Question

某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．

（1）当时，求比值取最小值时的值；

（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）

Answer

(1)M在时取最小值(2)

【解析】

试题（1）求导，利用导函数的符号变化研究函数的单调性和最值；（2）利用（1）结论，列出不等式组进行求解.

试题解析：（1）当时，，∴

列表得：

2

0

单调减

极小值

单调增

∴在上单调递减，在上单调递增 ∴在时取最小值；

（2）∵ 根据（1）知：在上单调减，在上单调增

∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴，解得：

答：实数的取值范围为．