Question

如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴的正半轴相交于A，B两点（A在B的上方），且AB＝3．

（1）求圆C的方程；

（2）直线BT上是否存在点P满足PA²＋PB²＋PT²＝12，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分∠EAF，求证：直线EF的斜率为定值．

Answer

（1）；（2）点P坐标为.（3）见解析.

【解析】

（1）求出圆C的半径为，即得圆C的方程；（2）先求出直线BT的方程为x+2y-2=0.

设P(2-2y,y),根据PA2＋PB2＋PT2＝12 求出点P的坐标；（3）由题得,即EF⊥BC,再求EF的斜率.

（1）由题得，所以圆C的半径为.

所以圆C的方程为.

(2)在中，令x=0,则y=1或y=4.

所以A(0,4),B(0,1).

所以直线BT的方程为x+2y-2=0.

设P(2-2y,y),因为PA2＋PB2＋PT2＝12，

所以,

由题得

因为,

所以方程无解.

所以不存在这样的点P.

(3)由题得,

所以，

所以.

所以直线EF的斜率为定值．