Question

已知函数，其中为正实数.

（1）若函数在处的切线斜率为2，求的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）若函数有两个极值点，求证：

Answer

（1）1；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

试题（1）根据导数几何意义得，解得的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得，再化简，进而化简所证不等式为，最后利用导函数求函数单调性，进而确定最小值，证得结论

试题解析：(1)因为，所以，

则,所以的值为1．

(2) ，函数的定义域为，

若,即,则,此时的单调减区间为;

若,即,则的两根为,

此时的单调减区间为,,

单调减区间为．

(3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．

因为

要证,只需证．

构造函数，则，

在上单调递增,又,且在定义域上不间断,

由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且．

则在上递减, 上递增,所以的最小值为．

因为,

当时, ,则,所以恒成立．

所以,所以，得证．