Question

如图，底面是边长为的正方形，⊥平面，∥，，与平面所成的角为．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）DE⊥平面ABCD，可得到DE⊥AC，又因为底面为正方形所以得到AC⊥BD，进而得到线面垂直;(2)建立坐标系得到面BEF和面BDE的法向量，根据法向量的夹角的求法得到夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值.

（1）证明：DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD．

DE⊥AC．

又底面ABCD是正方形，

AC⊥BD，又BD∩DE=D，

AC⊥平面BDE，

又AC⊂平面ACE，

平面ACE⊥平面BDE．

（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

BE与平面ABCD所成的角为45°，

即∠EBD=45°，

DE=BD=AD=，CF=DE=．

A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，），F（0，3，），

=（﹣3，0，）， =（0，3，），

设平面BEF的一个法向量为 =（，，），

则，即，令=，

则 =（2，4，）．

又AC⊥平面BDE，

=（﹣3，3，0）为平面BDE的一个法向量．

cos＜＞= = = ．

∴二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．