Question

已知过抛物线 的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点，且 .

（1）求抛物线的方程;

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 ，求的值.

Answer

（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.

【解析】

试题第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.

试题解析：

(1)直线AB的方程是y＝2（x-），与y2＝2px联立，消去y得8x2－10px＋2＝0，

由根与系数的关系得x1＋x2＝ .由抛物线定义得|AB|＝＋p＝9，故p=4

(2)由(1)得x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．

设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，

又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，

解得λ＝0或λ＝2.