Question

已知椭圆的离心率为，过右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于和四点.设的中点为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.

Answer

（1）；（2）直线经过定点，定点坐标为，理由见解析.

【解析】

（1）根据题意确定出c与e的值，利用离心率公式求出a的值，进而求出b的值，代入椭圆方程得答案；

（2）由直线AB与CD斜率存在，设为k，表示出AB方程，设出A与B坐标，进而表示出M的坐标，联立直线AB与椭圆方程，消去y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出M，同理表示N，根据M,N的横坐标相同求出k的值，得到此时MN斜率不存在，直线恒过定点；若直线MN斜率存在，表示MN的斜率，进而表示直线MN的方程，令，求出x的值，得到直线MN恒过定点；显然直线AB或CD斜率不存在，也成立，综上，得到直线MN恒过定点，求出坐标即可.

（1）因为椭圆的右焦点，所以，

又离心率，所以，即

故椭圆的方程为

（2）当直线AB和CD斜率存在时

设直线AB方程为：，再设

则有中点

联立方程，消去y得：

由韦达定理得： ，所以M的坐标为

将上式中的k换成，同理可得N的坐标为

若，即，，

此时直线MN斜率不存在，直线过定点 ；

当时，即直线MN斜率存在，则

直线MN为

令，得

此时直线MN过定点

显然当直线AB或CD斜率不存在时，直线MN就是x轴，也会过

综上所述：直线经过定点，定点坐标为