Question

已知正项数列满足4S_n=a_n²+2a_n+1．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）设b_n= ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1） ； （2） .

【解析】

（1）由4Sn＝an2+2an+1，可知当n≥2时，4Sn−1＝an−12+2an−1+1，两式作差可得an-an-1=2（n≥2），再求出首项，代入等差数列的通项公式可得数列{an}的通项公式；
（2）把数列{an}的通项公式代入bn=，再由裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn．

（1）由4Sn＝an2+2an+1，可知当n≥2时，4Sn−1＝an−12+2an−1+1，

两式作差得an-an-1=2（n≥2），

又4S1＝4a1＝a12+2a1+1，得a1=1，

∴an=2n-1；

（2）由（1）知，bn=＝

∴Tn=b1+b2+…+bn=