Question

如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案:

（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值；

（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点､在半径､上，且，，求花圃面积的最大值.

Answer

（1）米（2）

【解析】

（1）要求周长的最大值，即求的最小值，设，在中由正弦定理求出，利用三角恒等变换，将转化为正弦型三角函数，即可求出最值；或由，利用余弦定理结合基本不等式，即可求出的最值；

（2）中的面积与（1）中面积相等，利用余弦定理结合基本不等式，即可求出的最大值；或过作于，设，，通过，求出，进而求出，求出面积关于的三角函数关系，利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像求出其最值.

（1）解法1:∵，，∴，

又，设，，

在中由正弦定理知

，

∴，，

∴周长为

，

，∴时，周长最大值米，

解法2:在中，因为，

，，∴，

由余弦定理知: ，

∴，

∴，

∴，当且仅当，等号成立；

（2）解法1:因为（2）中的面积与（1）中面积相等，

而在中，因为， ，，

∴，由余弦定理知: ，

∴，

∴，当且仅当，等号成立；

∴，

答:花圃面积最大值，最大值时.

解法2:过作于，∵，，

易知四边形为矩形，连结，设，，

∴，

在中，

∴

，时，最大值为.

答:花圃面积最大值为.