Question

已知椭圆:的离心率为，点在椭圆上，为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知､为椭圆上不同的两点.①设线段的中点为点，证明:直线､的斜率之积为定值；②若､两点满足，当的面积最大时，求的值.

Answer

（1）（2）①证明见解析②

【解析】

（1）将离心率转化为关系，点坐标代入方程，即可求解；

（2）①设，，代入方程相减，即可证明结论；②结合①的结论，求出直线的斜率，设直线方程，与椭圆方程联立，消元结合根与系数关系，求出，再求出到直线的距离，得到的面积目标函数，求出最大值即可.

（1）依题意有，解得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）设，，则，两式相减得:，①

∵的中点为，∴，

∴.

（3）解法l:由，因为，

所以，，②

代入①式得直线的斜率为，

设直线的方程:，联立方程组，

消得:，由，

解得，且，，③

由②③可得， ，

到:的距离为，

所以，

当且仅当，即时取等号，满足，

由②③可得，所以的值为.

解法2:设直线的方程:，

联立方程组，消

得:，

，，

，

由，因为，

所以，，有，

所以，解得，下同解法1.