Question

已知函数，.

（1）当时，求函数在上的单调性；

（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为3，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）当，求证:.

Answer

（1）在上单调递（2）存在，2（3）证明见解析

【解析】

（1）求出，讨论当的正负，即可得出结论；

（2）求导，对分类讨论求出的最小值，且等于，得到关于的方程，求解即可；

（3）要证，只需证，只需证，对照结构特征，令，利用的单调性，即可证明结论.

（1）∵，∴，

当，时，∴，

∴函数在上单调递增.

（2）存在实数使得在上有最小值，

∵，∴，

∴当时，，在上单调递增无最小值，

∴，此时设方程的正根为，

∴，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴，

∴，即，

函数在单调递增，

且，∴，∴.

（3）由（1）知当，在上单调递增；

不妨设，且，则，即:，

所以有，

∵，∴，

∴，

∴，

即:.