Question

已知数列的各项均为正数，前项和满足；数列是等比数列，前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知等比数列满足，，，求数列前项和为；

（3）若，且等比数列的公比，若存在，使得，试求的值.

Answer

（1），（2）（3）2

【解析】

（1）化为，由与关系，即可求出通项；

（2）由（1）得，将已知化为，即是关于函数，进而转化为求的最值，求出，即可求解；

（3）由（1）（2），即为，求解关于的不定方程，构造数列，判断单调性，得出的可能值，验证，即可求解.

（1）数列前项和满足,

即；，

；

，∵数列的各项均为正数，

∴，又，∴，

（2）.∵等比数列满足，，

∴，令，

，当时，，

在单调递增；

当时，，单调递减；

∴，即，而，∴，

∴且此时，设等比数列的公比为，

，，所以数列前项和为

.

（3）由，得:，

正数数列公比的等比数列.∵，，

即:，即:，

设，，∵，时，

上式分子，

数列单调递增

.∴时，与矛盾

.∴若时，(∵)

故，解得符合条件.