Question

在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.

（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；

（2）已知，是曲线上的两点，若曲线上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（Ⅰ）连结QF，由已知条件推导出|QP|＝|QF|，从而得到|QE|+|QF|＝PE＝2，由此推导出点Q的轨迹方程T是以E（﹣1，0）和F（1，0）为焦点的椭圆，进而能求出点Q的轨迹方程T．

（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+m，把y＝kx+m代入椭圆，得（1+2k2）x2+4kx+2m2﹣2＝0，分m＝0和m≠0两种情况进行讨论，能求出实数λ的取值范围．

【解析】
（Ⅰ）如图，连结QF，

∵点E（﹣1，0）和F（1，0），

圆E是以E为圆心，半径为的圆，点P是圆E上任意一点，

线段FP的垂直平分线l和半径EP所在的直线交于点Q，

∴|QP|＝|QF|，∴|QE|+|QF|＝PE＝2，

∴点Q的轨迹方程T是以E（﹣1，0）和F（1，0）为焦点的椭圆，

且2a＝2，a，c＝1，∴b＝1，

∴点Q的轨迹方程T：．

（Ⅱ）设经过点M、N的直线为l，由题意和l的斜率存在，

设直线l的方程为y＝kx+m，

把y＝kx+m代入椭圆，

整理，得（1+2k2）x2+4kx+2m2﹣2＝0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），

则，x1x2，

∴y1+y2＝k（x1+x2）+2m，

①当m＝0时，点M，N关于原点对称，则λ＝0；

②当m≠0时，点M，N不关于原点对称，则λ≠0，

∵，

∴x1+x2＝λx0，y1+y2＝λy0，

∴，y0，

∵点P在上，

∴[]2+2[]2＝2，

化简，得4m2（1+2k2）＝λ2（1+k2）2，

∵1+2k2≠0，∴4m2＝λ2（1+2k2），①

又∵△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）

＝8（1+2k2﹣m2）＞0，

∴1+2k2＞m2，②

联立①②及m≠0，得λ2＜4，∴﹣2＜λ＜2，且λ≠0．

综上所述，实数λ的取值范围是（﹣2，2）．