Question

已知圆C：x²+y²+2x﹣4y+3＝0．

（1）若直线l：x+y＝0与圆C交于A，B两点，求弦AB的长；

（2）从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

Answer

（1）（2）P（）

【解析】

（1）根据圆的弦长公式即可求出；

（2）因为|PM|＝|PO|，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，根据几何知识可求出点P的运动轨迹为直线2x﹣4y+3＝0，所以点到直线的距离最短，即求出|PM|取得最小值，再联立直线2x﹣4y+3＝0和，即可求出点P的坐标．

（1）圆C可化为（x+1）2+（y﹣2）2＝2，则圆心C（﹣1，2），

所以C到直线l的距离d，

则弦长AB＝2；

（2）因为切线PM与半径CM垂直，所以|PM|2＝|PC|2﹣|CM|2，

又因为|PM|＝|PO|，则|PO|2＝|PC|2﹣|CM|2，即（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2＝x12+y12，

整理得2x1﹣4y1+3＝0，所以点P的运动轨迹为直线2x﹣4y+3＝0，

所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值．

而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3＝0的距离d，

过点且垂直于直线2x﹣4y+3＝0的方程为：

所以由，得，

故所求点P的坐标为P（）．