Question

在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）.

（1）求证：平面；

（2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）线段上存在点，且

【解析】

（1）推导出，从而四边形为平行四边形，推导出，由此能证明平面；

（2）建立空间直角坐标系，设，利用向量法能求出线段上存在点，且时，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为.

（1）证明：因为在梯形中，，为的中点，

所以，

所以四边形为平行四边形，

因为线段与交于点，

所以为线段的中点，

所以中，

因为平面，平面，

所以平面.

（2）【解析】
平行四边形中，，

所以四边形是菱形，，垂足为，

所以，

因为平面，平面，

所以是二面角的平面角，

因为二面角为直二面角，

所以，即.

可以如图建立空间直角坐标系，其中，

因为在图1菱形中，，

所以，

所以，

所以，，

设为平面的法向量，

因为，所以，即，

取，得到，

所以；

线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为，

设，

因为，

所以，

因为，

所以，

因为，所以，

所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.