Question

已知圆，圆N与圆M关于直线对称.

（1）求圆N的方程.

（2）是否存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，使得被圆M截得的弦长与被圆N截得的弦长相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）存在，或

【解析】

（1）求出圆心的对称点即可得；

（2）假设存在，设，分析直线的性质，题意说明圆心到相交直线的距离相等，即到的距离等于到直线的距离，为此设直线的方程为，（考虑斜率存在且不为0），由点到直线距离公式得一关于斜率的恒等式，可求得．

（1）设，圆M与圆N关于直线对称，，

则直线MN与直线l垂直，MN的中点在直线l上，得，

解得，圆.

（2）设点满足条件，

假设直线，的斜率均存在且不为0，

不妨设直线的方程为，，

则直线的方程为.

圆M和圆N的半径相等，且直线被圆M截得的弦长与直线被圆N截得的弦长相等，

圆M的圆心到直线的距离和圆N的圆心到直线的距离相等，

即，

整理得，

，即或，

的取值有无穷多个，或，

解得或.

这样的点只可能是点或点.