已知
为坐标原点，直线
上一点
，动点
满足：
，
.
（1）求动点的轨迹
的标准方程；
（2）直线
与轨迹相交于
两点，线段
的中点为
，射线
交轨迹于点
，交直线
于点
.证明：
.
某区组织群众性登山健身活动，招募了
名师生志愿者，现将所有志愿者按年龄情况分为
六组，其频率分布直方图如图所示，已知
之间的志愿者共
人.
（1）求和
之间的志愿者人数
；
（2）组织者从
之间的志愿者（其中共有
名女教师，其余全为男教师）中随机选取
名担任后勤保障工作，记其中女教师的数量为
，求随机变量的概率分布列和数学期望.
已知
为坐标原点，定点
，动点
在抛物线
上.
（1）若直线
的斜率分别为
，求
的值；
（2）若直线
过点且与圆
相交于点
，
过点.证明：与直线
相切.
已知等比数列
的公比为
，若
，且
与
的等差中项是
，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列
满足：
，求数列的前
项和
.
足球运动的真谛不仅在于竞技，更在于增强人民体质，培养人们爱国主义、集体主义、顽强拼搏的精神.足球是人类交流的另类“语言”，而其他竞技方式，无论从深度到广度，从速度到力度，都难以与足球比肩，就交流与表达而言，足球是人类最能展露自己天性的运动.
（1）已知某国每年注册足球运动员的人数
（万人）与该国年度国际足联排名
线性相关，统计数据如下表：
求变量与的线性回归方程
，并预测该国年度国际足联排名为第
时注册足球运动员的人数；（参考公式：
）
（参考数据：
；
）
（2）从该国中学生中选出
名男生进行颠球挑战，若能一次性连续颠球超过
个就可获得一个奖励足球，每人只能挑战一次.已知这名男生每人能够一次性连续颠球超过个的概率均为
，且相互独立.求这名男生获得奖励足球个数
的数学期望
及获得奖励足球超过个的概率（精确到
）.（参考数据：
）
已知数列
的前
项和
，数列
的前项和
，
，则正整数的最大值为_________.
