若集合
，则集合
的子集最多有___________个.
设
，
，则
是
成立的________条件
等差数列
中，
，则通项
___________.
某公司研发了两种具有自主知识产权的操作系统，分别命名为“天下”、“东方”.这两套操作系统均适用于手机、电脑、车联网、物联网等，且较国际同类操作系统更加流畅.
（1）为了解喜欢“天下”系统是否与性别有关，随机调查了
名男用户和名女用户，每位用户对“天下”系统给出喜欢或不喜欢的评价，得到下面列联表：
请问：能否有
的把握认为男、女用户对“天下”系统的喜欢有差异？
附：
.
（2）该公司选定
万名用户对“天下”和“东方”操作系统（以下简称“天下”、“东方”）进行测试，每个用户只能从“天下”或“东方”中选择一个使用，每经过一个月后就给用户一次重新选择“天下”或“东方”的机会.这个月选择“天下”的用户在下个月选择“天下”的概率均为
，选择“东方”的概率均为
，
；这个月选择“东方”的用户在下个月选择“天下”的概率均为
，选择“东方”的概率均为
，
.记
表示第
个月用户选择“天下”的概率，已知
，
，
，
，
.
（ⅰ）求
的值；
（ⅱ）证明：数列
（）为等比数列；
（ⅲ）预测选择“天下”操作系统的用户数量不超过多少万人.（精确到1万）
已知
为坐标原点，直线
上一点
，动点
满足：
，
.
（1）求动点的轨迹
的标准方程；
（2）直线
与轨迹相交于
两点，线段
的中点为
，射线
交轨迹于点
，交直线
于点
.证明：
.
某区组织群众性登山健身活动，招募了
名师生志愿者，现将所有志愿者按年龄情况分为
六组，其频率分布直方图如图所示，已知
之间的志愿者共
人.
（1）求和
之间的志愿者人数
；
（2）组织者从
之间的志愿者（其中共有
名女教师，其余全为男教师）中随机选取
名担任后勤保障工作，记其中女教师的数量为
，求随机变量的概率分布列和数学期望.
