Question

如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）取中点，连结，，可证明出，，得到为平行四边形，通过，证明出平面；

（2）取中点，连结，，由平面平面，得到平面，从而以为原点，建立空间直角坐标系，得到，的坐标，然后通过，证明；

（3）证明出是平面的法向量，求出平面的法向量，通过法向量的夹角公式，得到二面角的余弦值.

（1）证明：取中点，连结，，

在等边三角形中，且，

又因为，

所以，又因为，

所以，

所以为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面；

（2）证明：取中点，连结，，

因为三角形是等边三角形

所以，，

因为四边形满足，，，

所以，，

又因为平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，

所以

所以；

（3）由（2）知，，

因为等边三角形中，为的中点，所以，

平面，

所以平面，

所以是平面的法向量，

又，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，得，

由，

又因为二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为.