Question

已知函数.

（Ⅰ）求证：函数有唯一零点；

（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题（I）求出，先证明在区间上为增函数，又，，所以在区间上恰有一个零点，而在上恒成立，在上无零点，从而可得结果；（II））设的零点为，即．原不等式可化为，令若，可得，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能，，即求所求．

试题解析：（I），

易知在上为正，因此在区间上为增函数，又，

因此，即在区间上恰有一个零点，

由题可知在上恒成立，即在上无零点，

则在上存在唯一零点．

（II）设的零点为，即．原不等式可化为，

令，则，由（I）可知在上单调递减，

在上单调递增，故只求，，设，

下面分析，设，则，

可得，即

若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能．

因此，即求所求．