Question

已知函数的定义域为，其中为常数；

（1）若，且是奇函数，求的值；

（2）若，，函数的最小值是，求的最大值；

（3）若，在上存在个点，满足，，，使，求实数的取值范围；

Answer

(1)；(2) 的最大值为；(3)或

【解析】

(1)由奇函数的定义可得,恒成立解得,即可得到的解析式；
(2)化简,对讨论,①时,②时,由二次函数对称轴,结合单调性即可得到最值；
(3) 画出当时函数的图像,再根据函数的单调性分三种情况进行讨论,分析函数的单调性从而去绝对值求得最值即可.

(1)因为是奇函数

∴,即恒成立,恒成立.故

(2)因为,,故,所以函数

,对称轴

①时,对称轴,函数在上单调递增,

∴的最小值是,

则,

故的最大值为；

②时,对称轴,

函数在上单调递增,在上单调递减；

∴的最小值是,则,

故的最大值为；

(3) 当时,画出的图像如图.

①当即时,易得在上为增函数,

故

.此时不满足.

②当,即时,在上为增函数,在上为减函数.此时

.

故,又,故.

③当时, 在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数.此时

故,因为解得.

综上所述, 或