Question

已知函数，其中、是非空数集，且，设，；

（1）若，，求；

（2）是否存在实数，使得，且？若存在，请求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由；

（3）若，且，，是单调递增函数，求集合、；

Answer

(1) ；(2) ；(3) ,其中或者,其中或者

或者

【解析】

(1)根据,分别代入对应的分段区间求解集合的范围再求并集即可.

(2)先假设推出矛盾,故可得.代入可得,再分析当时与题设矛盾可得.

(3)先根据函数的单调性确定,,再证明在上存在分界点的话,这个分界点应该满足的性质,最后根据此性质写出满足题意的集合即可.

(1)因为,所以,

因为,所以.

故.

(2)若,则,不符合要求.

所以,所以,因为,所以,解得.

若则 .

因为,所以的原象且

所以,得,与前提矛盾.

故

(3)因为是单调递增函数,所以对任意的有,所以

所以,同理可证.若存在,使得,

则,于是,

记,

所以,同理可知…

由,得,

所以.

所以,故,

即,此时 .

对于任意,取中的自然数,

则.所以.

综上所述,满足要求的必有如下表示：

,其中或者

,其中或者

或者