Question

已知，．

（1）若函数在为增函数，求实数的值；

（2）若函数为偶函数，对于任意，任意，使得成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）任取，由，得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；

（2）由偶函数的定义可求得，由题意可得出，由此可得出对于任意成立，利用参变量分离法得出，即可求出实数的取值范围.

（1）任取，则

函数在上为增函数，，则，

且，，

，，则，，

因此，实数的取值范围是；

（2）函数为偶函数，则，

即，即对任意的恒成立，

所以，解得，则，

由（1）知，函数在上为增函数，

当时，，

对于任意，任意，使得成立，

对于任意成立，

即（*）对于任意成立，

由对于任意成立，则，

，则，.

（*）式可化为，

即对于任意，成立，即成立，

即对于任意，成立，

因为，所以对于任意成立,

即任意成立，所以，

由得，所以的取值范围为.