Question

己知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程：

（2）当>0时，求函数的单调区间和极值；

（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1) ；(2) 的单调递增区间为,单调递减区间为和.极小值为,极大值为；(3)

【解析】

(1)求出切点坐标,切线斜率,可得曲线在处的切线方程；
(2)求导函数,利用导数的正负,可得函数的单调区间,从而可得函数的极值；
(3)求出在区间上的最大值与最小值,利用当时,不等式

恒成立,再列出不等式求解即可.

(1) 当时,, ,

故.又,

故曲线在处的切线方程为,化简得.

(2).

令有,.当时有,

故的单调递增区间为,单调递减区间为和.

当时取得极小值,

当时取得极大值.

(3)由(2),,

故在上单调递减.

当时, ；当时, .故

又因为当时,不等式恒成立.故恒成立.

所以 解得.

故的范围为.