Question

已知函数定义域是，且，当时，

（1）证明：为奇函数；

（2）求在上的表达式；

（3）是否存在正整数，使得时，有解，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1） 证明见解析 （2） （3）满足条件的正整数不存在，理由见解析.

【解析】

(1) 由,得再结合即可判断的奇偶性；
(2) 当时，,再结合奇函数的性质以及当时的表达式，可解.
(3) 先根据所求结论得到；把不等式转化为在上有解,得到，即可得到答案.

（1）由得，

所以，由，得.

所以是奇函数.

(2)当时，，

由，得

由（1）.

当时，

（3）由（1）,则以2为周期的周期函数.

当时，.

，

不等式有解，即有解.

即在上有解.

即.

所以，此时无解.

故满足条件的正整数不存在.