Question

（已知数列{}满足：，为数列的前项和．

（1） 若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；

（2） 若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式；

（3） 若，对于给定的正整数，是否存在一个满足条件的数列，使得，如果存在，给出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）（3）详见解析

【解析】

（1）因为是递增数列，所以．而，因此又成等差数列，所以，因而，解得

当时，，这与是递增数列矛盾，故.

（2）由于是递增数列，因而，于是

但，所以①

. ②

由①，②知，，

因此③

因为是递减数列，同理可得，，

故④

由③，④即知，．

于是

.

故数列的通项公式为

（3）令

因为，……，

所以

因为

所以为偶数,

所以要使为偶数,

即4整除.

当：

时，有

当不能被4整除，

此时不存在数列，使得．